Verso l'infinito, ma con calma - le funzioni

Tutti, a scuola, hanno sentito parlare di funzioni. Anche gli studenti.

Ma se domandi: “allora, che cosa è esattamente una funzione?”, tutti mostrano di essere intensamente impegnati a fare altro.

Bene, una volta capito cosa sia una relazione, è molto semplice passare alle funzioni: infatti una funzione è un particolare tipo di relazione. Una funzione è una relazione per la quale ad ogni elemento del primo insieme corrisponde un unico elemento del secondo insieme. La differenza è tutta qua, nel sottolineare che il corrispondente deve essere uno solo.

In pratica, non ci sono elementi del primo insieme dai quali possano partire due o più frecce: da ogni elemento ne parte una sola.

Ecco un disegnino:

Come si vede, da ogni elemento di A parte una sola freccia, mentre non esiste nessuna regola che riguarda gli elementi di B: ci sono elementi sui quali arriva una sola freccia, elementi sui quali ne arrivano due, elementi sui quali non ne arriva nemmeno una.

“E non vogliamo specificare niente sugli elementi di B? Ai matematici va bene tutto?”.

“Certo che no. I matematici fanno alcune distinzioni. Per esempio, osserva questo disegno”.

“Ah, vedo che qua non ci sono elementi di B sui quali arrivano due o più frecce”.

“Bene, giusto. Anche se esistono elementi di B sui quali non arriva nulla, cioè elementi che non hanno un corrispondente in A”.

“Vedo. Diciamo che al massimo arriva una freccia. Queste funzioni hanno un nome particolare?”.

“Sì. Si chiamano funzioni iniettive”.

“Ok. E una funzione fatta così, ha un nome anche lei?”.

“Vuoi dire una funzione che ricopre tutto il secondo insieme? Cioè una funzione tale che su ogni elemento di B arriva almeno una freccia?”.

“Esatto. Prima hai fatto l'esempio delle funzioni con al massimo una freccia su ogni elemento di B, pensavo che magari potesse esistere una definizione per funzioni con al minimo una freccia su ogni elemento di B”.

“Sì, in questo caso si parla di funzione suriettiva”.

“E magari si possono combinare le due richieste? Al massimo una freccia e al minimo una freccia? So che i matematici dicono una e una sola freccia”.

“Esattamente. Una funzione che è sia iniettiva che suriettiva si dice biunivoca (o anche biiettiva, qualcuno addirittura scrive bijettiva). Ecco un disegnino”.

“Ok, ho capito. Delle corrispondenze biunivoche me ne avevano parlato anche alle elementari. Ma i matematici parlano davvero di frecce?”.

“Beh, no, quasi mai. Invece di dire che la funzione f collega con una freccia l'elemento a con l'elemento b, scrivono semplicemente f(a)=b”.

“Questo mi ricorda qualcosa...”.

“Già. Tieni presente che spesso si dimentica che per definire una funzione non serve solo la legge (cioè il modo in cui le frecce collegano gli elementi), ma serve anche conoscere quali sono gli insiemi A e B”.

“Perché?”.

“Prendi per esempio la funzione f(x)=x², cioè la funzione che prende un elemento e lo eleva al quadrato. È chiara la legge? Sapresti trovare il corrispondente di un qualunque numero?”.

“Direi di sì, non è difficile”.

“Bene. Allora, questa funzione è iniettiva?”.

“Mh, direi di sì. Sì. Se per esempio elevo 3 al quadrato, ottengo 9. Se elevo un altro numero al quadrato non ottengo 9”.

“Che mi dici di -3 al quadrato?”.

“Oh oh, non avevo pensato ai numeri negativi”.

“Vedi dunque l'importanza di conoscere l'insieme A. Se A contiene solo numeri maggiori o uguali a zero, la funzione è iniettiva. Se A contiene anche numeri negativi, allora non lo è”.

“Ho capito. E per quanto riguarda l'insieme B?”.

“Dimmi tu. La funzione che eleva al quadrato è suriettiva? Cioè, ricopre tutto l'insieme di arrivo?”.

“Ah, ho capito! Dipende da come è fatto l'insieme di arrivo! Se contiene solo numeri maggiori o uguali a zero, la funzione lo ricopre tutto. Se contiene anche i numeri negativi, no. Non esiste nessun numero che elevato al quadrato mi dia -4, per esempio”.

“Se non prendiamo numeri immaginari nell'insieme di partenza, è vero”.

“Numeri immaginari?”.

“Vabbè, questa è un'altra storia”.