Su un particolare insieme numerico - disuguaglianze

“Abbiamo chiamato 0 il numero {|}, poi abbiamo chiamato 1 il numero {0|}, viene naturale chiamare 2 il numero {1|}”.

“Ti ho già detto che quello che tu consideri naturale potrebbe risultare oscuro al resto del mondo?”.

“Sì, infatti vedremo poi che 1+1 dà proprio 2 come risultato, ma non vorrei ancora parlare di somme”.

“Va bene, per ora mi fido, poi vedremo come si sommano questi numeri”.

“Sì, lasciamo le somme a dopo: ora prova però a dimostrare che 1 è minore di 2”.

“Come si fa? Noi sappiamo solo verificare se un numero è minore o uguale di un altro”.

“Ma sappiamo anche che due numeri sono uguali se il primo è minore o uguale del secondo, e viceversa”.

“E quindi?”.

“E quindi se noi dimostriamo che 1 è minore o uguale di 2, ma che 2 non è minore o uguale di 1, siamo a posto”.

“Ah, ho capito. Va bene, allora provo a dimostrare che 1 ≤ 2”.

“E cioè che {0|} ≤ {1|}”.

“Allora, questo vorrebbe dire che nessun elemento dell'insieme di sinistra del primo numero (cioè 0) è maggiore o uguale di 2, e che nessun elemento dell'insieme di destra del secondo numero è minore o uguale del primo (vero, non ci sono elementi nell'insieme di destra del secondo numero)”.

“Bene”.

“Ma come faccio a dimostrare che 0 non è maggiore o uguale di 2?”.

“Conosci la definizione di 0, conosci quella di 2, fai la prova”.

“Ah, devo lasciare in sospeso la prima dimostrazione per verificare questa seconda affermazione?.

“Esatto”.

“Allora, 2 ≤ 0 significherebbe che {1|} ≤ {|}. Questo è vero se nessun elemento dell'insieme di sinistra del primo numero (cioè 1) è maggiore o uguale di 0... no, non va bene, 1 è maggiore o uguale di 0”.

“Benissimo, quindi 0 non è maggiore o uguale di 2”.

“Ho capito”.

“Bene. Ora prendiamo in considerazione il numero {0,1|}”.

“Uhm, il primo esempio di numero in cui sono presenti due elementi in una delle sue parti”.

“Sì, infatti. Vogliamo dimostrare che questo numero, che per ora indichiamo con x, è maggiore di 1”.

“Va bene, allora, cominciamo a dimostrare che 1 ≤ x. Provo io?”.

“Vai”.

“Dovrei dimostrare quindi che 1 ≤ {0,1|}”.

“E cioè, tenendo presente la definizione di 1, che {0|} ≤ {0,1|}”.

“Questo è vero se nessun elemento dell'insieme di sinistra del primo numero (cioè 0, c'è solo lui) è maggiore o uguale di x, e nessun membro dell'insieme di destra del secondo numero è..., bé, qua mi fermo perché l'insieme di destra del secondo numero è vuoto. Ora però devo dimostrare che 0 non è maggiore o uguale di x”.

“Sì: come prima, conosci la definizione di 0, conosci quella di x, quindi provi”.

“Quindi devo dimostrare che non è vero che {0,1|} ≤ {|}”.

“Sì”.

“Quella disuguaglianza vorrebbe dire che nessun elemento dell'insieme di sinistra del primo numero (cioè 0 e 1) è maggiore o uguale di 0 e che... un momento, già questa prima parte è falsa: 0 è maggiore o uguale di 0, e anche 1”.

“Giusto. Quindi questa seconda dimostrazione è vera, puoi tornare a quella che avevi lasciato in sospeso”.

“Che quindi risulta vera pure lei”.

“Esatto. Hai dimostrato che 1 ≤ x”.

“Ora dovrei dimostrare che x non è minore o uguale di 1”.

“Sì. Devi quindi far vedere che è falsa la disuguaglianza {0,1|} ≤ {0|}”.

“Questa volta la disuguaglianza vorrebbe dire che nessun elemento dell'insieme di sinistra del primo numero (cioè 0 e 1) è maggiore o uguale di 1... questo è già falso: 1 è maggiore o uguale di 1”.

“Perfetto, quindi hai dimostrato che 1 è minore o uguale di x e che x non è minore o uguale di 1”.

“Quindi 1 è minore di x”.

“Anche se non sappiamo ancora quanto vale x”.

“Ora possiamo saperlo: prova a dimostrare che x è uguale a 2”.

“Allora, per prima cosa dovrei far vedere che 2 ≤ x, e poi che x ≤ 2”.

“Giusto. Comincia dalla prima disuguaglianza”.

“Voglio dimostrare che {1|} ≤ {0,1|}. Questo è vero, a meno che qualche elemento dell'insieme di sinistra del primo numero (cioè 1) sia maggiore o uguale di x (no, l'abbiamo appena dimostrato, 1 è minore di x), o che qualche elemento dell'insieme di destra del secondo numero... no, mi fermo, l'insieme di destra è vuoto. Bene, è vero”.

“Ora la seconda disuguaglianza”.

“Questa volta voglio dimostrare che {0,1|} ≤ {1|}. Allora, è vero a meno che qualche elemento dell'insieme di sinistra del primo numero (cioè 0 oppure 1) sia maggiore o uguale di 2 (no, abbiamo dimostrato che 1 è minore di 2, e quindi anche 0 lo è) oppure che qualche elemento dell'insieme di destra del secondo numero... (no, è vuoto). È vero anche questo”.

“Ecco fatto: dato che 2 ≤ x e che x ≤ 2, hai dimostrato che x è uguale a 2”.

“E quindi questi due insiemi, {0,1|} e {1|}, pur essendo diversi, rappresentano lo stesso numero”.

“Proprio così”.

“Ora però cerchiamo una regola generale, vero?”.

“Già”.