«Abbiamo visto alcuni esempi di poligoni, alcuni costruibili e alcuni no. Ora siamo pronti per il risultato generale».
«Oh, bene».
«Risultato che conferma, naturalmente, i tre esempi che abbiamo visto. Allora, eccolo: un poligono di n lati è costruibile se n è uguale a 2h+1, e n è primo. In questo caso l'equazione ciclotomica è di grado 2h, ed è anche irriducibile. Se invece n è uguale a 2h+1, ma non è un numero primo, allora l'equazione ciclotomica è riducibile e il poligono non è costruibile».
«Oh, quindi si tratta di vedere se n è primo oppure no».
«E se è nella forma 2h+1, altrimenti non va bene».
«Ah, ecco, si tratta quindi di provare».
«Non è necessario provare tutti i numeri primi, perché c'è un altro teorema che dice che se n = 2h+1 è primo, allora h è una potenza di 2, cioè h = 2m, con m maggiore o uguale di zero. Questo non è difficile da dimostrare».
«Uhm».
«Se h non fosse una potenza di 2, avrebbe un fattore dispari».
«Giusto».
«Allora proviamo a scrivere h = rs, con r e s positivi, e supponiamo che sia s il fattore dispari».
«Bene».
«Allora 2h+1 = 2rs+1 = (2r)s+1».
«Mh».
«Non è una brutta espressione: se la guardi bene è una somma di potenze dispari».
«Ah, hai ragione. È come se fosse As+1, con s dispari».
«Esattamente. E, come sai, le somme di potenze dispari si scompongono».
«Vero: As+1 diventa (A+1) per l'equazione ciclotomica».
«Eh, no, attenzione ai segni: ottieni l'equazione ciclotomica se provi a scomporre As-1».
«Ah, e qui cosa ottengo, allora?».
«Un'espressione analoga all'equazione ciclotomica, ma con i segni alterni».
«Fammi un esempio che mi sto perdendo».
«Ti faccio vedere direttamente il risultato:».
2h+1 = 2rs+1 = (2r)s+1 = (2r+1)(2r(s-1)-2r(s-2)+…+1).
«Bene, direi di aver capito. Come andiamo avanti?».
«Siamo arrivati alla fine: abbiamo scomposto in fattori 2h+1, che quindi non può essere primo. Questo è un assurdo».
«Ah! Allora non è vero che h ha almeno un fattore dispari».
«Esatto, quindi h è una potenza di 2, come volevasi dimostrare. Quindi ecco il risultato fondamentale: un poligono di n lati è costruibile se n è primo ed è scrivibile nella forma 22m+1. Quindi non abbiamo bisogno di analizzare tutti i numeri primi, ma solo quelli fatti in quel modo».
«Che avranno un nome, immagino».
«Esatto: si chiamano numeri primi di Fermat».
«Saranno comunque un'infinità».
«Quelli noti ad oggi sono cinque».
«Cosa?».
«Eh, già. Di solito si indicano così: Fm = 22m+1. Prova a cominciare a fare un elenco, partendo fa F0».
«Allora, vediamo, F0 = 220+1 = 21+1 = 2+1 = 3. Ok, è primo».
«Perfetto, questo è il triangolo. Andiamo avanti».
«F1 = 221+1 = 22+1 = 4+1 = 5. Ecco il pentagono».
«Bene, avanti».
«F2 = 222+1 = 24+1 = 16+1 = 17. Uh, un eptadecagono? Si può costruire?».
«Sì, il primo a dimostrarlo fu il giovane Gauss, 19 anni».
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