mercoledì 17 luglio 2013

Nim — 5. Somme di nimeri

«Riassumiamo quello che abbiamo scoperto finora, ragionando su questi nimeri. Vediamo di costruire la tabella della somma, partendo da qui:».

+---+---+---+---+
| 0 | 1 | 2 | 3 |
+---+---+---+---+
| 1 |   |   |   |
+---+---+---+---+
| 2 |   |   |   |
+---+---+---+---+
| 3 |   |   |   |
+---+---+---+---+

«Uhm, spiega un po'».

«Per prima cosa, ho scritto 0, 1, 2, 3 invece di 0, *1, *2, *3».

«Perché 0 e non *0?».

«È la stessa cosa, lo zero è universale, *0 è il numero che corrisponde al gioco (0) che si comporta come lo 0».

«Va bene».

«Ora vediamo di riempire un po' la tabella. Come vedi non ho messo uno 0 per la riga e uno per la colonna perché lo 0 è davvero l'elemento neutro, quindi ne basta uno. Possiamo dire una volta per tutte che *k + 0 = *k e non ci pensiamo più».

«Ok».

«Ora sfruttiamo la seconda regola: due pile uguali formano un gioco nullo».

«Quindi cosa facciamo? Mettiamo 0 sulla diagonale?».

«Esatto, ecco qua:».

+---+---+---+---+
| 0 | 1 | 2 | 3 |
+---+---+---+---+
| 1 | 0 |   |   |
+---+---+---+---+
| 2 |   | 0 |   |
+---+---+---+---+
| 3 |   |   | 0 |
+---+---+---+---+

«E adesso?».

«Ci ricordiamo quello che abbiamo detto sul gioco (3,2,1)».

«Ah, vero. Se sommo due numeri — oops, nimeri — qualsiasi ottengo il terzo».

«E quindi possiamo compilare le altre caselle:».

+---+---+---+---+
| 0 | 1 | 2 | 3 |
+---+---+---+---+
| 1 | 0 | 3 | 2 |
+---+---+---+---+
| 2 | 3 | 0 | 1 |
+---+---+---+---+
| 3 | 2 | 1 | 0 |
+---+---+---+---+


«Bello».

«Ora ti faccio notare una cosa: se avessimo a disposizione solo il gioco nullo, dovremmo utilizzare solo la casella nell'angolo in alto a sinistra».

«Certo».

«Se possiamo usare una pedina (e quindi abbiamo a disposizione anche il gioco (1), cioè star), usiamo una griglia 2×2».

«Naturalmente».

«Se introduciamo il gioco *2, per completare la tabella abbiamo bisogno anche di *3».

«Vero, a causa della relazione *1 + *2 + *3 = 0».

«Infatti. Provo a usare dei colori per farti visualizzare meglio questo fatto».

+---+---+---+---+
| 0 | 1 | 2 | 3 |
+---+---+---+---+
| 1 | 0 | 3 | 2 |
+---+---+---+---+
| 2 | 3 | 0 | 1 |
+---+---+---+---+
| 3 | 2 | 1 | 0 |
+---+---+---+---+

«Carino, ma perché l'hai fatto?».

«Perché prossimamente tornerà utile. Per adesso prova a elaborare una strategia per il Nim (5,4,1)».

Nessun commento: